Mathematik Glossar

Mathematik Glossar

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A

Abbildung: Eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zuordnet. Algebra: Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Strukturen, Gleichungen und deren Lösungen beschäftigt. Algorithmus: Eine endliche Folge von wohldefinierten Instruktionen zur Lösung eines Problems. Analysis: Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Grenzwerten, Funktionen, Ableitungen und Integralen beschäftigt. Annuität: Regelmäßige Zahlung (oder Einnahme) über einen festgelegten Zeitraum. Axiom: Eine grundlegende Annahme oder ein nicht beweisbarer Grundsatz, der innerhalb einer mathematischen Theorie als wahr akzeptiert wird.

B

Basis (Vektorraum): Ein System von Vektoren in einem Vektorraum, durch das sich jeder Vektor des Raums linear ausdrücken lässt. Binomialkoeffizient: Gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus einer Menge von n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu wählen. Bijektive Funktion: Eine Funktion, die eine eins-zu-eins Zuordnung zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Beweis: Eine logische Argumentation, die zeigt, dass eine mathematische Aussage wahr ist. Brüche: Eine Darstellung einer rationalen Zahl in einer anderen Form.

C

Cartesisches Koordinatensystem: Ein Koordinatensystem, das durch zwei oder drei aufeinander senkrecht stehende Achsen definiert wird, auf denen Punkte durch ihre Koordinaten dargestellt werden. Chaos-Theorie: Ein Bereich der Mathematik, der sich mit dynamischen Systemen beschäftigt, die sehr sensitiv auf Anfangsbedingungen reagieren. Chinesischer Restsatz: Ein Satz aus der Zahlentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen ein System von simultanen Kongruenzen lösbar ist. Codierungstheorie: Studium der Eigenschaften von Codes und ihrer Eignung für spezifische Anwendungen. Komplexe Zahlen: Zahlen, die aus einem realen und einem imaginären Teil bestehen. Kongruenz: Eine Beziehung zwischen zwei geometrischen Figuren, die durch Verschiebung, Drehung oder Spiegelung zur Deckung gebracht werden können.

D

Deduktive Methode: Ein logischer Prozess, bei dem eine spezifische Aussage durch Ableitung aus allgemeinen Prinzipien oder Gesetzen hergeleitet wird. Determinante: Eine Zahl, die bestimmte Eigenschaften einer quadratischen Matrix beschreibt und bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen hilfreich ist. Differentialgleichung: Eine Gleichung, die Beziehungen zwischen Funktionen und ihren Ableitungen beschreibt. Diskrete Mathematik: Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Strukturen befasst, die diskrete Werte annehmen (im Gegensatz zu kontinuierlichen Werten). Divergenz: Ein Konzept, das beschreibt, wie sich eine Folge verhält, wenn ihre Glieder unbegrenzt wachsen oder keinem Grenzwert zustreben. Division: Eine der vier grundlegenden Rechenarten, bei der bestimmt wird, wie oft ein Divisor in einen Dividenden passt.

E

Eigenvector und Eigenwert: Begriffe aus der linearen Algebra, die mit den Skalierungs- und Drehungseigenschaften von Matrizen zusammenhängen. Ellipse: Eine geschlossene, ovale Kurve, die die Form der Bahnen von Planeten und Satelliten beschreibt. Exponentialfunktion: Eine Funktion, bei der eine konstante Basis zu einer variablen Potenz erhoben wird, oft verwendet zur Beschreibung von Wachstumsprozessen. Exzentrizität: Maß für die Abweichung einer Ellipse oder eines anderen Kegelschnitts von der Kreisform. Euklidische Geometrie: Ein mathematisches System, das auf den Postulaten des griechischen Mathematikers Euklid basiert und die Grundlage der klassischen Geometrie bildet. Euler'sche Zahl: Die Basis des natürlichen Logarithmus, ungefähr gleich 2.71828, und eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.

F

Fakultät: Eine Funktion, die das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu einer bestimmten Zahl n darstellt, symbolisiert durch n!. Fibonacci-Folge: Eine Zahlenfolge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden Zahlen ist, beginnend mit 0 und 1. Funktion: Eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zuordnet. Fourier-Reihe: Eine Methode zur Darstellung einer Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen. Fraktal: Ein komplexes geometrisches Muster, das sich auf verschiedenen Skalen wiederholt und oft selbstähnliche Eigenschaften aufweist.

G

Galois-Theorie: Ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Beziehungen zwischen den Wurzeln von Polynomgleichungen beschäftigt. Gaußsche Elimination: Ein Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme durch Umformung in Zeilenstufenform. Geometrie: Der Zweig der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften und Beziehungen von Punkten, Linien, Winkeln, Flächen und Körpern befasst. Gradient: Ein Vektorfeld, das die Richtung und Rate der steilsten Steigung einer Funktion an jedem Punkt angibt. Graphentheorie: Ein Studienbereich, der die Eigenschaften von Graphen und die Wege zwischen ihren Knoten untersucht.

H

Hilbert-Raum: Ein vollständiger Raum mit einem inneren Produkt, der die Verallgemeinerung des euklidischen Raums darstellt und in der Quantenmechanik und anderen Gebieten verwendet wird. Homomorphismus: Eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen. Hyperbel: Eine offene, symmetrische Kurve, die als ein Kegelschnitt entsteht und zwei getrennte Äste hat. Hypotenuse: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

I

Integralrechnung: Ein Hauptzweig der Analysis, der sich mit der Akkumulation von Größen und den Flächen unter Kurven beschäftigt. Isomorphismus: Eine bijektive strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Strukturen, die zeigt, dass diese Strukturen in einem bestimmten Sinne „gleich“ sind. Iteration: Ein Verfahren, bei dem eine Operation wiederholt angewendet wird, oft zur Annäherung an eine Lösung oder zur Berechnung eines mathematischen Wertes.

J

Jordan-Normalform: Eine kanonische Form einer Matrix, die bei der Lösung linearer Gleichungssysteme und der Analyse linearer Transformationen hilfreich ist. Joukowsky-Transformation: Eine konforme Abbildung, die in der Aerodynamik zur Untersuchung der Strömung um Flügelprofile verwendet wird.

K

Kardinalität: Die Anzahl der Elemente in einer Menge. Kegelschnitte: Die Kurven, die entstehen, wenn eine Ebene einen Doppelkegel schneidet, einschließlich Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Kombinatorik: Ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Anzahl der Möglichkeiten befasst, bestimmte Bedingungen erfüllende Gruppen von Objekten auszuwählen oder anzuordnen. Komplexitätstheorie: Ein Forschungsbereich, der sich mit der Klassifizierung von Problemen nach ihrer inhärenten Schwierigkeit und den Ressourcen beschäftigt, die zu ihrer Lösung erforderlich sind. Körper (Algebra): Eine algebraische Struktur, die die Eigenschaften von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division umfasst.

L

Lineare Algebra: Ein Bereich der Mathematik, der Vektoren, Vektorräume, lineare Transformationen und Systeme linearer Gleichungen untersucht. Logarithmus: Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, die angibt, auf welche Potenz eine bestimmte Basis erhoben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erreichen. Limes (Grenzwert): Ein fundamentales Konzept in der Analysis, das das Verhalten einer Funktion beschreibt, wenn sich ihre Argumente einem bestimmten Wert nähern. Lineare Programmierung: Eine Methode zur Optimierung (Maximierung oder Minimierung) einer linearen Zielfunktion, unterworfen linearen Gleichungs- und Ungleichungsbeschränkungen. Lot (Geometrie): Eine Linie, die senkrecht auf einer anderen Linie oder Fläche steht.

M

Matrix: Ein rechteckiges Schema von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, das in Zeilen und Spalten angeordnet ist. Mengenlehre: Ein fundamentales Theoriegebäude, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also Kollektionen von Objekten, beschäftigt. Modulare Arithmetik: Ein Zahlensystem, das sich mit ganzen Zahlen mod einer positiven Zahl, dem Modulus, beschäftigt. Monotonie: Eigenschaften von Funktionen, die entweder immer zunehmen oder immer abnehmen. Multivariable Analysis: Ein Bereich der Mathematik, der Funktionen von mehr als einer Veränderlichen untersucht.

N

Natürliche Zahlen: Die Menge der positiven ganzen Zahlen 1,2,3,…. Nichtlineare Dynamische Systeme: Systeme, in denen die Veränderung eines Zustands nicht proportional zu seiner momentanen Größe ist, oft zu komplexen Verhaltensmustern führend. Norm (Mathematik): Ein Maß für die Größe oder Länge eines Vektors. Nullmenge: Eine Menge ohne Elemente, auch leere Menge genannt. Numerische Analysis: Ein Bereich der Mathematik, der Algorithmen zur Lösung von Problemen entwickelt, die kontinuierliche (anstatt diskrete) Variablen beinhalten.

O

Ober- und Untersumme: Konzepte aus der Integralrechnung zur Approximation der Fläche unter einer Kurve. Orthogonalität: Der Zustand von zwei Vektoren, die einen rechten Winkel (90 Grad) zueinander bilden; ein zentrales Konzept in der linearen Algebra. Ordnung (Mathematik): Ein Maß für die Komplexität oder den Grad einer Struktur, wie die Ordnung eines Polynoms oder die Ordnung eines Gruppenelements.

P

Primzahl: Eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist. Polynom: Eine algebraische Ausdruckform, die aus Variablen und Koeffizienten besteht, wobei die Variablen nur mit ganzzahligen Exponenten erhoben werden. Permutation: Eine Anordnung oder eine Reihenfolge einer Menge von Objekten. Potenzreihe: Eine unendliche Reihe von Termen in der Form � � ( � − � ) � a n ​ (x−c) n , die eine Funktion in einer Umgebung eines Punktes � c darstellt. Projektive Geometrie: Ein Bereich der Geometrie, der die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Projektionen, wie Schattenwürfe, erhalten bleiben.

Q

Quadratische Gleichung: Eine Gleichung zweiten Grades, die die allgemeine Form � � 2 + � � + � = 0 ax 2 +bx+c=0 hat, wobei � a, � b, und � c Konstanten sind und � ≠ 0 a  =0. Quotientenregel: Eine Methode zum Finden der Ableitung eines Quotienten von zwei Funktionen. Quaternionen: Ein Zahlensystem, das eine Erweiterung der komplexen Zahlen darstellt und in der dreidimensionalen Raumgeometrie Anwendung findet.

R

Rationale Zahlen: Zahlen, die als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, wobei der Nenner nicht null ist. Reelle Zahlen: Die Menge aller rationalen und irrationalen Zahlen, die eine kontinuierliche Linie bilden, die Zahlengerade. Ring (Algebra): Eine algebraische Struktur, die aus einer Menge zusammen mit zwei binären Operationen besteht, die allgemein als Addition und Multiplikation bezeichnet werden, mit bestimmten Eigenschaften wie Assoziativität und Distributivität. Riemannsche Fläche: Eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die es ermöglicht, mehrdeutige Funktionen eindeutig zu machen. Rekursion: Ein Verfahren oder eine Funktion, die sich in ihrer Definition selbst aufruft, oft verwendet, um iterative Prozesse in der Mathematik und Informatik zu modellieren.

S

Skalar: Eine einfache Zahl, die in der linearen Algebra als Multiplikator in Vektoroperationen verwendet wird. Sigma-Algebra: Eine Sammlung von Teilmengen, die die Grundlage für das Maß der Wahrscheinlichkeitstheorie bildet. Simplex: Ein n-dimensionales Polytop, das die einfachste Form eines Polytops in seiner Dimension darstellt, zum Beispiel ein Punkt, eine Linie, ein Dreieck oder ein Tetraeder. Stetigkeit: Eine Eigenschaft von Funktionen, bei der kleine Änderungen des Eingabewerts nur kleine Änderungen des Funktionswerts bewirken. Symmetrie: Eine grundlegende Eigenschaft, die vorliegt, wenn ein Objekt oder eine Operation bei bestimmten Transformationen unverändert bleibt.

T

Tensor: Ein mathematisches Objekt, das in der linearen Algebra und Differentialgeometrie verwendet wird, um komplexe geometrische und physikalische Konzepte zu beschreiben. Topologie: Ein Bereich der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Raum befasst, die bei stetigen Verformungen (wie Strecken, Komprimieren und Biegen, aber nicht Zerreißen oder Verkleben) erhalten bleiben. Trigonometrie: Ein Zweig der Mathematik, der sich mit den Beziehungen zwischen den Winkeln und Seiten von Dreiecken befasst. Turing-Maschine: Ein mathematisches Modell der Berechenbarkeit, das die Fähigkeiten eines idealisierten Computers beschreibt. Teilbarkeit: Eine Eigenschaft von ganzen Zahlen, wobei eine Zahl � a teilbar durch eine andere Zahl � b ist, wenn es eine ganze Zahl � c gibt, so dass � = � ⋅ � a=b⋅c.

U

Unendlich: Ein Konzept, das etwas ohne Ende oder Grenze beschreibt, in der Mathematik oft verwendet, um nicht endende Prozesse oder Mengen zu beschreiben. Unbestimmte: Ein Symbol in der Algebra, das eine beliebige Zahl repräsentiert und in Gleichungen und Funktionen verwendet wird. Unterraum: Eine Menge, die innerhalb eines größeren mathematischen Raumes eine Struktur mit ähnlichen Eigenschaften bildet, insbesondere in der linearen Algebra. Ungleichungen: Aussagen, die die relative Größe oder Ordnung von zwei Werten beschreiben, wobei angezeigt wird, dass ein Wert größer oder kleiner (oder gleich) als der andere ist.

V

Vektorraum: Ein mathematisches Modell, das verwendet wird, um lineare Beziehungen zu beschreiben. Es besteht aus einer Menge von Vektoren, die nach bestimmten Regeln addiert und mit Skalaren multipliziert werden können. Variation: Eine Veränderung in der Form, Lage, oder Größe eines Objekts, die durch Transformationen oder durch Funktionen beschrieben wird. Vollständige Induktion: Eine Beweismethode, die darauf basiert, eine Aussage für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, indem man sie für eine Anfangszahl beweist und dann zeigt, dass, wenn sie für eine Zahl gilt, sie auch für die nächste gilt. Volumen: Der räumliche Inhalt eines Körpers, der mit Maßeinheiten wie Kubikzentimetern oder Kubikmetern gemessen wird.

W

Wahrscheinlichkeitstheorie: Ein Zweig der Mathematik, der sich mit der Analyse zufälliger Phänomene befasst. Wellengleichung: Eine partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von Wellen, wie Schallwellen oder Lichtwellen, in einem Medium beschreibt. Winkel: Die Neigung zwischen zwei Linien oder Flächen in Bezug auf den Punkt, an dem sie sich treffen, gemessen in Grad oder Radiant. Wurzel: Eine Lösung einer Gleichung, die angibt, welche Zahl, wenn sie in eine bestimmte algebraische Funktion eingesetzt wird, einen bestimmten Wert ergibt.

X

X-Achse: Die horizontale Achse in einem kartesischen Koordinatensystem. Xenokrist: Ein Begriff aus der Geologie, der einen Kristall beschreibt, der in einem Gestein eingebettet ist, zu dem er nicht ursprünglich gehört. In der Mathematik weniger relevant, zeigt aber die Interdisziplinarität der Wissenschaft.

Y

Y-Achse: Die vertikale Achse in einem kartesischen Koordinatensystem. Yottabyte: Ein Maß für Datenmengen, entspricht (2^{80}\ Bytes oder etwa einer Trillion Gigabyte. In der Mathematik genutzt zur Illustration extrem großer Zahlenmengen.

Z

Zahlentheorie: Ein Bereich der reinen Mathematik, der sich mit den Eigenschaften von Zahlen, insbesondere ganzen Zahlen, beschäftigt. Zentraler Grenzwertsatz: Ein fundamentaler Satz in der Wahrscheinlichkeitstheorie, der besagt, dass die Summe vieler unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen normalverteilt ist, wenn die Anzahl der Variablen groß genug ist. Zyklische Gruppe: Eine algebraische Struktur, in der jede Operation eine Permutation der Gruppe selbst ist und die von einem einzelnen Element erzeugt wird. Zerlegung: Der Prozess, eine mathematische Struktur in einfachere Teile zu zerlegen, oft verwendet in der Algebra und der Zahlentheorie. Zufallsvariable: Eine Variable, deren Werte das Ergebnis eines Zufallsprozesses sind, genutzt in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.

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